Depuis que ce livre a paru en langue russe, les auteurs ont réuni
plusieurs nouveaux exemples d'emploi des algorithmes. On obtenait
un effet particulièrement spectaculaire dans les problèmes pluridimensionnels
et quasi linéaires de la physique mathématique
lorsque les schémas aux différences (ou variationnels aux différences)
simples doublés de l'extrapolation de Richardson ou le raffinement
par des différences d'ordre relativement peu élevé fournissaient des
résultats très concluants en ce qui concerne la précision. Car nombreux
sont les cas où seuls les schémas simples d'ordre d'approximation
faible possèdent des propriétés requises telles que la stabilité
asymptotique, la monotonie, la validité des analogues discrets des
lois de conservation, l'économie d'un pas de temps, la symétrie,
l'algorithme explicite, etc. Ces schémas garantissent souvent un
comportement qualitatif juste de la solution approchée sans qu'on
obtienne une bonne précision même si l'on travaille avec de grandes
capacités. Mais s'il y a régularité ou si l'on supprime spécialement
les singularités, alors l'extrapolation de Richardson ou la correction
des solutions des schémas par des différences d'ordre assez peu élevé
aboutissent nécessairement à des résultats très précis.
L'ouvrage que nous présentons aux lecteurs de langue française
diffère légèrement de l'édition russe: les auteurs ont décrit sous
forme générale la méthode des différences d'ordre supérieur pour
les problèmes linéaires, ajouté des numéros traitant des procédés
d'extrapolation non linéaires, de l'influence des erreurs de calcul
et remplacé certains algorithmes d'extrapolation par d'autres plus
universels.
La manière d'exposer les matériaux reste la même. S'agissant
des problèmes linéaires, tous les résultats découlent de règle des
théorèmes généraux, et on démontre chaque cas non linéaire sans
négliger aucun calcul intermédiaire.
Traduit du russe par I. Pétrova
Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.
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