A la fin des années 40 un nouveau cours, nommé « Analyse III », a été inclus dans les programmes de la Faculté des mathématiques de l'Université d’Etat de Moscou. Il comportait des éléments de la théorie de la mesure et de la théorie des fonctions, les équations intégrales, la théorie des espaces de Banach et certaines autres questions. Ce cours que nous avons professé pendant plusieurs années se trouve à l’origine du présent ouvrage. Par la suite, le cours d’« Analyse III », apparu premièrement à l’Université de Moscou, a été inclus dans les programmes d’autres universités. Tout en nous efforçant de donner dans cet ouvrage un exposé unique des questions générales de la théorie des ensembles, de la théorie de la mesure et de l’intégration, ainsi que des idées et des méthodes générales de l ’analyse fonctionnelle, nous avons eu le souci d’accorder assez d’attention aux problèmes moins abstraits de l’analyse classique et même des mathématiques appliquées, où les questions citées plus haut trouvent leur application. Dans ses grandes lignes, le présent ouvrage correspond au programme du cours d’« Analyse III », adopté actuellement dans les universités soviétiques.
A côté d’autres questions, nous avons réservé une place importante à la théorie générale de la mesure. A cette occasion il faut signaler l’apparition récente d’un grand nombre d’ouvrages traitant de la théorie de l’intégration à partir du schéma de Daniel sans faire appel à la théorie de la mesure. A notre point de vue, la théorie de la mesure qui est largement utilisée dans la théorie ergodique, dans la théorie des processus aléatoires, etc., présente assez d’intérêt en elle-même, indépendamment du problème de l’introduction de la notion d’intégrale, pour être incluse dans un cours universitaire obligatoire.
Pour la compréhension du contenu de ce livre le lecteur doit connaître l’analyse mathématique élémentaire et les fondements de l’algèbre linéaire. Lors de la traduction du livre en français le texte a été minutieusement révisé, les fautes d’impression et les défauts d’exposé remarqués ont été corrigés. Une aide importante dans ce travail nous a été fournie par le rédacteur de l’édition française V. A. Medvedev que nous tenons à remercier.
Traduit du russe par Michel Dragnev
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